#1
n=5 #부모를 한 묶음으로 본 후, 원형 탁자에 둘러앉는 사람의 수
k=factorial(n-1) #n명이 원형 탁자에 앉는 경우의 수
l=factorial(2) #부모가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수
print("따라서 구하는 모든 경우의 수는 %d 이다." %(k*l)) #모든 경우의 수 = (n명이 원형 탁자에 앉는 경우의 수)x(부모가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수)
따라서 구하는 모든 경우의 수는 48 이다. 따라서 구하는 모든 경우의 수는 48 이다. |
#2
n=5 #서로 다른 색을 가진 풍선 개수
r=2 #선택할 풍선 개수
print("모든 경우의 수는 %d이다." %(binomial(n+r-1,r))) #모든 경우의 수
모든 경우의 수는 15이다. 모든 경우의 수는 15이다. |
#3
k=4 #문자 '가'의 개수
l=2 #문자 '나'의 개수
n=k+l #모든 문자의 개수
print("모든 경우의 수는 %d이다." %(binomial(n,k))) #모든 경우의 수
모든 경우의 수는 15이다. 모든 경우의 수는 15이다. |
#4
n=3 #상자 개수
r=5 #공 개수
print("모든 경우의 수는 %d이다." %(binomial(n+r-1,r))) #모든 경우의 수
모든 경우의 수는 21이다. 모든 경우의 수는 21이다. |
#5
k=4 #숫자 개수 (0,1,2,3)
l=k-1 #천의 자릿수에 올 수 있는 숫자 개수(0이 제외 됨)
m=k #나머지 백,십,일의 자릿수에 올 수 있는 숫자 개수
print("따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는 %d이다." %(l*m^3)) #모든 경우의 수 = 각각의 자릿수에 올 수 있는 숫자 개수의 곱
따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는 192이다. 따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는 192이다. |
#6
n=6
r=3
print("모든 경우의 수는 %d이다." %(binomial(n+r-1,r))) #모든 경우의 수
모든 경우의 수는 56이다. 모든 경우의 수는 56이다. |
#7
r=3
k=8
n=8^(1/3) #n^r=8
print("등식을 만족시키는 자연수 n의 값은 %d이다." %n)
등식을 만족시키는 자연수 n의 값은 2이다. 등식을 만족시키는 자연수 n의 값은 2이다. |
#8
n=6
a=2 #a의 지수
b=4 #b의 지수
print("(a+b)^6 전개식에서 a^2*b^2의 계수는 %d이다." %(binomial(n,a))) #모든 경우의 수
(a+b)^6 전개식에서 a^2*b^2의 계수는 15이다. (a+b)^6 전개식에서 a^2*b^2의 계수는 15이다. |
#9
n=4
k=-2
def get_coefficient(n,a):
return binomial(n,a)*k^(n-a)
print("{}x^4 {}x^3 +{}x^2 {}x +{}".format(get_coefficient(n,4),get_coefficient(n,3),get_coefficient(n,2),get_coefficient(n,1),get_coefficient(n,0)))
1x^4 -8x^3 +24x^2 -32x +16 1x^4 -8x^3 +24x^2 -32x +16 |
#10
var('n')
assume(n>0)
r=2
print("자연수 n의 값은 다음과 같다.")
solve(binomial(n,r)==45,n)
자연수 n의 값은 다음과 같다. [n == 10] 자연수 n의 값은 다음과 같다. [n == 10] |
#11
coin1=['h','t'] #h: 앞 t:뒤
coin2=['h','t']
coin_list=[]
for x in coin1: #첫번째 동전 시행
for y in coin2: #두번째 동전 시행
coin_list.append(x+y) #표본공간
print("표본공간은 다음과 같다.")
print(coin_list)
표본공간은 다음과 같다. ['hh', 'ht', 'th', 'tt'] 표본공간은 다음과 같다. ['hh', 'ht', 'th', 'tt'] |
#12
U = [1,2,3,4,5,6,7,8] #전체 사건
A = [1,3,5,7] #A 사건
B = [4,8] #B 사건
list(set(U)-set(A+B)) #전체사건에서 A,B사건의 합(각각의 리스트를 더한 후 set()을 통해 중복 제거)을 뺌
[2, 6] [2, 6] |
#13
S=binomial(5,2) #표본공간
A=binomial(3,1)*binomial(2,1) #사건 A
print("사건 A가 발생할 확률은 %s이다." %(A/S)) #확률 P = (사건 A)/(표본공간)
사건 A가 발생할 확률은 3/5이다. 사건 A가 발생할 확률은 3/5이다. |
#14
#여사건
S=binomial(6,3) #표본공간
A=binomial(4,3) #A 고등학교 학생이 포함되지 않는 경우의 수
P=A/S #A 고등학교 학생이 전혀 포함되지 않을 확률
print("A고등학교 학생이 적어도 1명 포함될 확률은 %s이다." %(1-P)) #A 고등학교 학생이 적어도 한 명 포함될 확률 = 1 - (A 고등학교 학생이 전혀 포함되지 않을 확률)
A고등학교 학생이 적어도 1명 포함될 확률은 4/5이다. A고등학교 학생이 적어도 1명 포함될 확률은 4/5이다. |
#15
S=[1..40]
A=set([x for x in S if x%3==0]) #카드에 적힌 수가 3의 배수인 경우
B=set([x for x in S if x%4==0]) #카드에 적힌 수가 4의 배수인 경우
AandB = A.intersection(B)
AUB = (len(A)+len(B)-len(AandB)) #확률 p = (3 또는 4의 배수일 모든 경우의 수) / (표본공간)
AUB = AUB/40
print("카드에 적힌 수가 3의 배수 또는 4의 배수일 확률은 %s이다." %(AUB))
카드에 적힌 수가 3의 배수 또는 4의 배수일 확률은 1/2이다. 카드에 적힌 수가 3의 배수 또는 4의 배수일 확률은 1/2이다. |
#16
r(k)=25*k #앞면이 나오는 횟수 r_n
n(k)=50*k #동전을 던진 횟수 n
print("동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률은 %s이다." %(limit(r(k)/n(k),k=infinity)))
동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률은 1/2이다. 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률은 1/2이다. |
#17
almond=10 #아몬드 사탕 개수
walnet=6 #호두 사탕 개수
A=walnet/(almond+walnet) #정희가 꺼낸 사탕이 호두 사탕일 확률
B_A=(walnet-1)/(almond+walnet-1) #정희가 호두맛 사탕을 꺼낸 후 현성이 호두 맛 사탕을 꺼낼 확률
print("두 사람 모두 호두맛 사탕을 꺼낼 확률은 %s이다." %(A*B_A))
두 사람 모두 호두맛 사탕을 꺼낼 확률은 1/8이다. 두 사람 모두 호두맛 사탕을 꺼낼 확률은 1/8이다. |
#18
A=0.4*0.01 #A 공장에서 생산된 부품이 불량품일 확률
B=0.6*0.02 #B 공장에서 생산된 부품이 불량품일 확률
print("택한 부품이 불량품일 확률은 %0.3f이다."%(A+B)) #택한 부품이 불량품일 확률
택한 부품이 불량품일 확률은 0.016이다. 택한 부품이 불량품일 확률은 0.016이다. |
#19
P=4/5 #표적을 맞출 확률
print("이 선수가 3발을 쏘았을 때, 표적을 한 번도 맞히지 못할 확률은 %s이다." %((1-P)^3)) #여사건: 표적을 맞추지 못할 확률 = 1 - 표적을 맞출 확률
이 선수가 3발을 쏘았을 때, 표적을 한 번도 맞히지 못할 확률은 1/125이다. 이 선수가 3발을 쏘았을 때, 표적을 한 번도 맞히지 못할 확률은 1/125이다. |
#20
P=35/36 #주사위를 한 번 던져 (6,6)이 나오지 않을 확률
print("서로 다른 2개의 주사위를 24번 던져 적어도 1번 (6,6)이 나올 확률은 %0.3f이다."%(1-(P)^24)) #여사건
서로 다른 2개의 주사위를 24번 던져 적어도 1번 (6,6)이 나올 확률은 0.491이다. 서로 다른 2개의 주사위를 24번 던져 적어도 1번 (6,6)이 나올 확률은 0.491이다. |
#21
p1=0.6*0.6 #목요일에 비가 오고, 금요일에 비가 올 확률
p2=0.4*0.3 #목요일에 비가 오지 않고, 금요일에 비가 올 확률
print("장마철의 어느 수요일에 비가 왔을 때, 그 주 금요일에도 비가 올 확률은 %0.2f이다."%(p1+p2))
장마철의 어느 수요일에 비가 왔을 때, 그 주 금요일에도 비가 올 확률은 0.48이다. 장마철의 어느 수요일에 비가 왔을 때, 그 주 금요일에도 비가 올 확률은 0.48이다. |
#22 table => 더 나은 방법을 생각해보아야 할 듯함
def pmf(n):
return binomial(3,n)*binomial(4,3-n)/binomial(7,3) #확률질량함수 공식
x_list=[(str(x),str(pmf(x))) for x in [0..3]] #x와 확률분포 쌍
header=["x", "P(X=x)"]
footer=["sum","1"] #합계
x_list.append(footer)
html.table(x_list, header=header) #table로 나타냄
|
#23
p=1/12 #검은 공을 아예 꺼내지 않을 확률
print("검은 공을 적어도 1개 이상 꺼낼 확률은 %s이다." %(1-p)) #여사건: 검은 공을 적어도 하나 이상 꺼낼 확률 = 1 - (검은 공을 아예 꺼내지 않을 확률)
검은 공을 적어도 1개 이상 꺼낼 확률은 11/12이다. 검은 공을 적어도 1개 이상 꺼낼 확률은 11/12이다. |
#24
var('k')
f(x)=k*x #확률밀도함수
g(m,n)=integrate(f(x),(x,n,m)) #확률밀도함수와 x축, 직선 x=n,x=m으로 둘러싸인 도형의 넓이 0<n<m
print(solve(g(0,3)==1,k)[0]) #k 값
f(x)=f(x).subs(k==2/9)
g(m,n)=integrate(f(x),(x,n,m)) #k==2/9대입
print(g(3,2)) #p(2<=x<=3)
plot(f(x),0, 3)
k == (-2/9) 5/9 k == (-2/9) 5/9 |
#25
p_list=[0.4,0.3,0.2,0.1] #확률분포
mean=0
for x,p in enumerate(p_list):
mean+=x*p
#print("%0.2f"%(mean)) #평균
variance=0
for x,p in enumerate(p_list):
variance+=(x-mean)^2*p
print("V(X) = %d"%(variance)) #분산
print("o(X) = %d"%(sqrt(variance))) #표준편차
V(X) = 1 o(X) = 1 V(X) = 1 o(X) = 1 |
#26
f(x)=1/288*x*(12-x) #연속확률변수 x의 확률밀도함수
print("기다리는 시간이 3분 이내일 확률은 %s이다." %(integral(f(x),0,3))) #0<=x<=3에서의 확률
기다리는 시간이 3분 이내일 확률은 5/32이다. 기다리는 시간이 3분 이내일 확률은 5/32이다. |
#27
p=1/6
mean=0
for x in [1..6]:
mean+=x*p
print("X의 기댓값은 %0.1f이다."%(mean)) #평균
X의 기댓값은 3.5이다. X의 기댓값은 3.5이다. |
#28
p=1/4
mean=0
x_list=[1,3,5,7]
for x in x_list:
mean+=x*p
#print("%d"%(mean)) #평균
variance=0
for x in x_list:
variance+=(x-mean)^2*p
print("V(X) = %d"%(variance)) #분산
print("o(X) = %s" %(sqrt(variance))) #표준편차
V(X) = 5 o(X) = sqrt(5) V(X) = 5 o(X) = sqrt(5) |
#29
a=3;b=2 #Y=3X+2
p_list=[2/5,3/10,1/5,1/10] #확률분포
mean=0
for x,p in enumerate(p_list):
mean+=(2*(x+1))*p
print("E(X) = %d"%(a*mean+b)) #평균 = a*mean+b
variance=0
for x,p in enumerate(p_list):
variance+=((2*(x+1))-mean)^2*p
print("V(X) = %d"%(a^2*variance)) #분산 = a^2*variance
print("o(X) = %d"%(a*sqrt(variance))) #표준편차 = a*deviance
E(X) = 14 V(X) = 36 o(X) = 6 E(X) = 14 V(X) = 36 o(X) = 6 |
#30
p=1/6
x_list=[1..6]
mean=0
for x in x_list:
mean+=x*p
print("E(X) = %s"%(mean)) #평균
x_list=[(x,1/6) for x in [1..6]] #x와 확률분포 쌍
header=["$x$", "$P(X=x)$"]
footer=["$합계$",1]
x_list.append(footer)
html.table(x_list,header=header) #table로 나타냄
E(X) = 7/2 E(X) = 7/2 |
#31
var('m,a') #m=평균, a=표준편차
mean=(m-m)/a #0 #표준정규분포에서의 평균
print("E(X) = %d" %(mean))
variance=a^2/a^2 #1 표준정규분포에서의 분산
print("V(X) = %d" %(variance))
E(X) = 0 V(X) = 1 E(X) = 0 V(X) = 1 |
#32(30)
n=18
p=1/3
print("E(X) = %d" %(n*p)) #평균
print("V(X) = %d" %(n*p*(1-p))) #분산
print("o(X) = %d" %(sqrt(n*p*(1-p)))) #표준편차
E(X) = 6 V(X) = 4 o(X) = 2 E(X) = 6 V(X) = 4 o(X) = 2 |
#33(31)
var('x')
mean=1 #평균
variance=4 #분산
deviation=sqrt(variance) #표준편차
print("E(X)=%d, V(X)=%d, o(X)=%d" %(mean,variance,deviation))
P(x)=(x-mean)/deviation #확률변수 z에 대한 확률
print("확률 범위는 P(%d<=Z<=%d)이다." %(P(1),P(5))) #확률 범위
print("P(1<=X<=5) = %0.4f"%(0.4772))
E(X)=1, V(X)=4, o(X)=2 확률 범위는 P(0<=Z<=2)이다. P(1<=X<=5) = 0.4772 E(X)=1, V(X)=4, o(X)=2 확률 범위는 P(0<=Z<=2)이다. P(1<=X<=5) = 0.4772 |
#34(32)
mean=15 #평균
variance=4/25 #표준편차
deviation=sqrt(variance) #분산
print("표본평균의 평균은 %d만 원이다." %(mean))
print("표본평균의 표준편차는 %s만 원이다." %(deviation))
표본평균의 평균은 15만 원이다. 표본평균의 표준편차는 2/5만 원이다. 표본평균의 평균은 15만 원이다. 표본평균의 표준편차는 2/5만 원이다. |
#35(33)
mean = 2.73 #평균
deviation = 0.03 #표준편차
variance = pow(deviation,2) #분산
p_variance = variance/9
P(x) = (x-mean)/0.01
print("P(%d <= Z <= %d)" %(P(mean-deviation),P(mean+deviation))) #확률 변수가 표준정규분포 N(0,1)을 따르므로 구하는 확률이다.
print("2 * P(0<=Z<=%d)" %(P(mean+deviation)))
print("제품의 길이의 평균이 2.7cm이상 2.76cm이하일 확률은 %.4f이다." %(2*0.4987))
P(-3 <= Z <= 3) 2 * P(0<=Z<=3) 제품의 길이의 평균이 2.7cm이상 2.76cm이하일 확률은 0.9974이다. P(-3 <= Z <= 3) 2 * P(0<=Z<=3) 제품의 길이의 평균이 2.7cm이상 2.76cm이하일 확률은 0.9974이다. |
#36(34)
n = 100 #표본의 크기
x = 2000 #표본평균의 실제 관측값
diviation = 100 #모표준편차
trust1 = x-(1.96*(diviation/sqrt(diviation))) #열량의 평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간 구하기
trust2 = x+(1.96*(diviation/sqrt(diviation)))
print("%.1f <= m <= %.1f" %(trust1, trust2))
print("즉, %.1fkcal 이상 %.1fkcal 이하인 범위에 이 가게에서 만든 파지 한 판의 열량의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 95%%이다." %(trust1, trust2))
1980.4 <= m <= 2019.6 즉, 1980.4kcal 이상 2019.6kcal 이하인 범위에 이 가게에서 만든 파지 한 판의 열량의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 95%이다. 1980.4 <= m <= 2019.6 즉, 1980.4kcal 이상 2019.6kcal 이하인 범위에 이 가게에서 만든 파지 한 판의 열량의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 95%이다. |
#37(35)
var('n')
mean = 30 #모평균
variance = 4 #모분산
size = n #모집단의 크기
print("%s <= %.2f" %((sqrt(variance)/sqrt(size)), 0.01)) #표뵨평균의 표준편차가 0.01 이하가 되기 위한 n의 최솟값 구하기
sol = str(solve((sqrt(4)/sqrt(n))==0.01,n)[0]) #식 간단화하기
sol = int(sol[5:len(sol)-1])
print("n >= %d" %sol)
2/sqrt(n) <= 0.01 n >= 4000 2/sqrt(n) <= 0.01 n >= 4000 |
#38(36)
var('n')
N = [17, 16, n] #정규분포
print("P(16.6 <= X <= 17.4) >= 0.95") #식
print("P(%s <= Z <= %s) >= 0.95" %(-sqrt(N[2])/10, sqrt(N[2])/10))
print("2 * P(0 <= Z <= %s) >= 0.95" %(sqrt(N[2])/10))
print("P(0 <= Z <= %s) >= 0.475" %(sqrt(N[2])/10))
print("이때 P(0<=Z<=1.96)>=0.475이므로 %s>=1.96이다." %(sqrt(N[2])/10))
solve(1/10*sqrt(n)==1.96, n) #n의 최솟값 구하기 => n>=9604/25
n = 9604/25
print("즉, n>=%.2f이므로, 따라서 n의 최솟값은 %d이다." %(n, ceil(n)))
P(16.6 <= X <= 17.4) >= 0.95 P(-1/10*sqrt(n) <= Z <= 1/10*sqrt(n)) >= 0.95 2 * P(0 <= Z <= 1/10*sqrt(n)) >= 0.95 P(0 <= Z <= 1/10*sqrt(n)) >= 0.475 이때 P(0<=Z<=1.96)>=0.475이므로 1/10*sqrt(n)>=1.96이다. 즉, n>=384.16이므로, 따라서 n의 최솟값은 385이다. P(16.6 <= X <= 17.4) >= 0.95 P(-1/10*sqrt(n) <= Z <= 1/10*sqrt(n)) >= 0.95 2 * P(0 <= Z <= 1/10*sqrt(n)) >= 0.95 P(0 <= Z <= 1/10*sqrt(n)) >= 0.475 이때 P(0<=Z<=1.96)>=0.475이므로 1/10*sqrt(n)>=1.96이다. 즉, n>=384.16이므로, 따라서 n의 최솟값은 385이다. |
#39(37)
mean = 5 #평균
variance = 225/4 #분산
size = 225 # 모집단의 크기
vari = (225/4) / size
print("P(Z>=%s) = P(X>=6)" %((6-mean)/sqrt(vari))) #표본평균 구하기
print("P(Z>=2)=0.0228")
P(Z>=2) = P(X>=6) P(Z>=2)=0.0228 P(Z>=2) = P(X>=6) P(Z>=2)=0.0228 |
#40(38)
var('X, Z')
B = [100,1/2] #이항분포
mean = B[0]*B[1] #평균
variance = B[0]*B[1]*(1-B[1]) #분산
f(x) = 4*X-2*(100-X) # 뒷면이 나오는 횟수는 100-X이므로 게임의 점수
print("게임의 점수를 구하는 식은 %s이다." %(f(x)))
print("동전 1개를 100번 던진 후, 최종 점수가 190점 이상이 될 확률은 다음과 같다.")
print("P(%s >= 190)" %(f(x))) # 최종 점수가 190점 이상이 될 확률
solve(f(x) == 190, X) #식 풀이하기
print("P(Z >= %s)" %((65-mean)/sqrt(variance))) #정규분포를 활용하여 확률 구하기
print("즉, 구하고자 하는 확률은 %.4f이다." %(0.0013))
게임의 점수를 구하는 식은 6*X - 200이다. 동전 1개를 100번 던진 후, 최종 점수가 190점 이상이 될 확률은 다음과 같다. P(6*X - 200 >= 190) P(Z >= 3) 즉, 구하고자 하는 확률은 0.0013이다. 게임의 점수를 구하는 식은 6*X - 200이다. 동전 1개를 100번 던진 후, 최종 점수가 190점 이상이 될 확률은 다음과 같다. P(6*X - 200 >= 190) P(Z >= 3) 즉, 구하고자 하는 확률은 0.0013이다. |
#41(39)
var('m, o, n')
mean = m # 평균
variance = pow(o,2)/n #분산
diviation = o/sqrt(n) #표준편차
print("E(X)=%s, V(X)=%s, o(X)=%s이다." %(mean, variance, diviation))
print("n에 관계없이 E(X)는 일정하고, n이 커질수록 V(X), o(X)는 작아진다.")
E(X)=m, V(X)=o^2/n, o(X)=o/sqrt(n)이다. n에 관계없이 E(X)는 일정하고, n이 커질수록 V(X), o(X)는 작아진다. E(X)=m, V(X)=o^2/n, o(X)=o/sqrt(n)이다. n에 관계없이 E(X)는 일정하고, n이 커질수록 V(X), o(X)는 작아진다. |
#42(40)
n = 100 #학교 학생 임의추출 수
x = 100 #스마트폰 사용 시간 평균
o = 25 #모표준편차
trust1 = n-2.58*(o/sqrt(x)) #평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간 구하기
trust2 = n+2.58*(o/sqrt(x))
print("이 학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간의 평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 다음과 같다.")
print("%.2f <= m <= %.2f (단위: 분)" %(trust1, trust2))
이 학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간의 평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 다음과 같다. 93.55 <= m <= 106.45 (단위: 분) 이 학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간의 평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 다음과 같다. 93.55 <= m <= 106.45 (단위: 분) |
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