연구과제_김수민_05

70 days ago by suminkim1317

#1번 f(n)=(n+1)/(n^2+n) ans=limit(f(n), n=infinity) print("극한값은 %d이다"%(ans)) 
       
극한값은 0이다
극한값은 0이다
#2번 f(n)=(3*n+4)/(1-n) ans=limit(f(n), n=infinity) print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans)) 
       
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 -3이다
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 -3이다
#3번 f(n)=(-1^n)/(2^n) ans=limit(f(n), n=infinity) print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans)) 
       
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다
#4번 f(n)=(7^(n+1)-3)/(7^n+3^n) ans=limit(f(n), n=infinity) print("분자, 분모를 7^n으로 나누면 극한값은 %d이다"%(ans)) 
       
분자, 분모를 7^n으로 나누면 극한값은 7이다
분자, 분모를 7^n으로 나누면 극한값은 7이다
#5번 f(n)=n*(sqrt(n+3)-sqrt(n))^2 ans=limit(f(n), n=infinity) print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %f이다"%(ans)) 
       
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 2.250000이다
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 2.250000이다
#6번 f(x)=x-1 ans=solve([-1<f(x),f(x)<=1],x)[:] print("x 범위 {} 에 해당하는 정수 x : 1, 2 ".format(ans)) 
       
x 범위 [[0 < x, x < 2], [x == 2]] 에 해당하는 정수 x : 1, 2 
x 범위 [[0 < x, x < 2], [x == 2]] 에 해당하는 정수 x : 1, 2 
#7번 integer_list=[1..100] f(n)=(n-1)/n ans=limit(f(n), n=infinity) print("n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 {}에 가까워진다".format(ans)) point([[x,f(x)] for x in integer_list],color='red') 
       
n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 1에 가까워진다
n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 1에 가까워진다
#8번 var('r') assume(r!=-1) a(n)=(r^(n+1))/(2*r^2+2) integer_list=[1..30] print('(1) r=1') f1(n)=a(n).subs(r=1) ans=limit(f1(n), n=infinity) print("\t수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 {}이다".format(ans)) p0=point([[n,f1(n)] for n in integer_list],color='red') p0.show() print('(2) |r|<1') f2(n)=a(n).subs(r=1/2) ans=limit(f2(n), n=infinity) print("\t수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 {}이다".format(ans)) p1=point([[n,f2(n)] for n in integer_list],color='blue') p1.show() print('(3) |r|>1') f3(n)=a(n).subs(r=2) ans=limit(f3(n), n=infinity) print("\t수열 a_n은 {}로 발산한다".format(ans)) point([[n,f3(n)] for n in integer_list],color='black') 
       
(1) r=1
	수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 1/4이다

(2) |r|<1
	수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다

(3) |r|>1
	수열 a_n은 +Infinity로 발산한다
(1) r=1
	수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 1/4이다

(2) |r|<1
	수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다

(3) |r|>1
	수열 a_n은 +Infinity로 발산한다
#9번 integer_list=[1..100] f(n)=n ans=limit(f(n), n=infinity) print("n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 {}로 발산한다".format(ans)) point([[x,f(x)] for x in integer_list],color='red') 
       
n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 +Infinity로 발산한다
n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 +Infinity로 발산한다
#10번 >> 답 수정 1 -> 2/3 r=1/3 a(n)=r^(n-1) result=limit(a(n), n=infinity) if result==0: is_convergence="수렴" else: is_convergence="발산" print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence)) s(n)=a(1)*(1-r^n)/(1-r) ans=limit(s(n), n=infinity) if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans)) 
       
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다
급수 S_n의 수렴 값은 3/2이다
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다
급수 S_n의 수렴 값은 3/2이다
#11번 A=n+1 B=n a(n)=1/(A-B)*(1/B-1/A) result=limit(a(n), n=infinity) if result==0: is_convergence="수렴" else: is_convergence="발산" print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence)) s(n)=1-1/(n+1) ans=limit(s(n), n=infinity) if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans)) 
       
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다
급수 S_n의 수렴 값은 1이다
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다
급수 S_n의 수렴 값은 1이다
#12번 a(n)=(n+2)/(n+1)-(n+3)/(n+2) result=limit(a(n), n=infinity) if result==0: is_convergence="수렴" else: is_convergence="발산" print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence)) s(n)=3/2-(n+3)/(n+2) ans=limit(s(n), n=infinity) if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans)) 
       
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다
급수 S_n의 수렴 값은 1/2이다
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다
급수 S_n의 수렴 값은 1/2이다
#13번 a(n)=(2*n-1)/(3*n-2) result=limit(a(n), n=infinity) if result==0: is_convergence="수렴" else: is_convergence="발산" print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence)) s(n)=3/2-(n+3)/(n+2) ans=limit(s(n), n=infinity) if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans)) 
       
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 2/3이므로 급수 S_n은 발산한다
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 2/3이므로 급수 S_n은 발산한다
#14번 print("급수가 수렴하면, 일반항 a_n의 극한값은 0이다.") var('a_n') solve(a_n-2==0,a_n) 
       
급수가 수렴하면, 일반항 a_n의 극한값은 0이다.
[a_n == 2]
급수가 수렴하면, 일반항 a_n의 극한값은 0이다.
[a_n == 2]
#15번 r1, r2 = 1/2, 3/4 a(n)=r1^(n-1) s1(n)=a(1)*(1-r1^n)/(1-r1) b(n)=r2^(n-1) s2(n)=b(1)*(1-r2^n)/(1-r2) ans=limit(s1(n), n=infinity) ans2=limit(s2(n), n=infinity) print("급수의 수렴값은 {} + {} = {}이다".format(ans,ans2,ans+ans2)) 
       
급수의 수렴값은 2 + 4 = 6이다
급수의 수렴값은 2 + 4 = 6이다
#16번 f(x)=(3*x-1)/6 print(solve([-1<f(x),f(x)<1],x)[:]) x_list=[-1,0,1,2] print("등비급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 개수는 {}의 {}개이다.".format(x_list,len(x_list))) 
       
[[(-5/3) < x, x < (7/3)]]
등비급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 개수는 [-1, 0, 1, 2]의 4개이다.
[[(-5/3) < x, x < (7/3)]]
등비급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 개수는 [-1, 0, 1, 2]의 4개이다.
#17번 f(x)=log((9*x+1)/x,3) ans=limit(f(x),x=infinity).simplify_full() print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans)) 
       
함수의 수렴값은 2이다.
함수의 수렴값은 2이다.
#18번 from sympy import Limit, S f(x)=3^x/(2+3^(x+1)) ans=limit(f(x),x=infinity).simplify_full() print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans)) 
       
함수의 수렴값은 1/3이다.
함수의 수렴값은 1/3이다.
#19번 from sympy import Limit, S var('a') assume(a>0) f(x)=(a^x-2^x)/x limit_f(x)=limit(f(x),x=0).simplify_full() solve(limit_f(x)==ln(3),a) 
       
[a == 6]
[a == 6]
#20번 f(x)=(5^x-2^(-x))/(5^x+2^(-x)) ans=limit(f(x),x=infinity).simplify_full() print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans)) 
       
함수의 수렴값은 1이다.
함수의 수렴값은 1이다.
#21번 f(x)=log(3+x) print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(1/2*diff(f(x),x).subs(x=0))) 
       
함수의 수렴값은 1/6이다.
함수의 수렴값은 1/6이다.
#22번 f(x)=(1+1/(2*x))^(-4*x) ans=limit(f(x), x=infinity) print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans)) 
       
함수의 수렴값은 e^(-2)이다.
함수의 수렴값은 e^(-2)이다.
#23번 var('a,b') f(x)=log(x-a)/(x-2) solve(limit(log(x-a),x=2)==0,a) #a값 구하기 a = 2-1 f(x)=log(x-a)/(x-2) #함수 재설정(a값 포함) b = limit(f(x), x=2) #b값 구하기 print("a = %d, b = %d이다."%(a,b)) 
       
a = 1, b = 1이다.
a = 1, b = 1이다.
#24번 n_to_rad(x)=pi*x/180 sin(n_to_rad(60))*cos(n_to_rad(45))-cos(n_to_rad(60))*sin(n_to_rad(60)) 
       
1/4*sqrt(2)*sqrt(3) - 1/4*sqrt(3)
1/4*sqrt(2)*sqrt(3) - 1/4*sqrt(3)
#25번 n_to_rad(x)=pi*x/180 sin(n_to_rad(45)) 
       
1/2*sqrt(2)
1/2*sqrt(2)
#26번 sin_a=3/5 sin_b=2/5 cos_a=-sqrt(1-sin_a^2) cos_b=sqrt(1-sin_b^2) print("cos(a) = {}, cos(b) = {}".format(cos_a,cos_b)) ans=(cos_a*cos_b+sin_a*sin_b) print("\ncos(a-b) \n= cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) \n= {}".format(ans)) 
       
cos(a) = -4/5, cos(b) = 1/5*sqrt(21)

cos(a-b) 
= cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) 
= -4/25*sqrt(21) + 6/25
cos(a) = -4/5, cos(b) = 1/5*sqrt(21)

cos(a-b) 
= cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) 
= -4/25*sqrt(21) + 6/25
#27번 n_to_rad(x)=pi*x/180 tan(n_to_rad(110-80)) 
       
1/3*sqrt(3)
1/3*sqrt(3)
#28번 f(x)=x^2*sin(1/x) ans=limit(f(x), x=0) print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans)) 
       
함수의 수렴값은 0이다.
함수의 수렴값은 0이다.
#29번 f(x)=cos(x)/x^2 ans=limit(f(x), x=infinity) print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans)) 
       
함수의 수렴값은 0이다.
함수의 수렴값은 0이다.
#30번 print(diff(sin(x)-cos(x))) #함수 미분하기 
       
sin(x) + cos(x)
sin(x) + cos(x)
#31번 f(x)=20*x^2*log(x) df(x)=diff(f(x),x) df(1) 
       
20
20
#32번 f(x)=(x+1)^3+log(x) df(x)=diff(f(x),x) df(1) 
       
13
13
#33번 f(x)=tan(x)*sec(x) factor(diff(f(x),x)) 
       
(2*tan(x)^2 + 1)*sec(x)
(2*tan(x)^2 + 1)*sec(x)
#34번 f(x)=sqrt(1-2*sin(x)) diff(f(x)) 
       
-cos(x)/sqrt(-2*sin(x) + 1)
-cos(x)/sqrt(-2*sin(x) + 1)
#35번 f(x)=(1+sin(x))/cos(x) diff(f(x)) 
       
(sin(x) + 1)*sin(x)/cos(x)^2 + 1
(sin(x) + 1)*sin(x)/cos(x)^2 + 1
#36번 f(x)=cos(2*x)+cos(x) df(x)=diff(f(x)) df(pi/3) 
       
-3/2*sqrt(3)
-3/2*sqrt(3)
#37번 f(x)=cos(sin(x)) diff(f(x)) 
       
-sin(sin(x))*cos(x)
-sin(sin(x))*cos(x)
#38번 f(x)=x*e^(x)-1 df(x)=diff(f(x)) x,y=0,-1 print("y={}x+{}".format(df(x),y)) 
       
y=1x+-1
y=1x+-1
#39번 f(x)=sqrt(3)*sin(x)+3*cos(x) df(x)=diff(f(x)) x,y=pi/3,3 print("y={}(x-{})+{}".format(df(x),x,y)) 
       
y=-sqrt(3)(x-1/3*pi)+3
y=-sqrt(3)(x-1/3*pi)+3
#40번 f(x)=x^2*e^(3*x) df(x)=diff(f(x)) x,y=-1,1/e^3 print("y={}(x-({}))+{}".format(-1/df(x),x,y)) 
       
y=-e^3(x-(-1))+e^(-3)
y=-e^3(x-(-1))+e^(-3)
#41. f(x) = pow(x,2)-ln(pow(x,2)) df(x) = diff(f(x)) print(solve(df(x)==0,x)[0]) p1 = plot(f(x),-2, 0) p2 = plot(f(-1),-2,0,color='red') show(p1+p2) 
       
x == -1
x == -1
#42번 f(x)=x/(2*log(x)) df(x)=diff(f(x)) solve(df(x)==0,x) f(e) 
       
#43번 f(x)=x^2/e^x print("f'(x) = {}".format(factor(diff(f(x))))) ddf(x)=factor(diff(f(x),x,2)) print("f''(x) = {}".format(ddf(x))) solve(ddf(x)==0,x) 
       
f'(x) = -(x - 2)*x*e^(-x)
f''(x) = (x^2 - 4*x + 2)*e^(-x)
[x == -sqrt(2) + 2, x == sqrt(2) + 2]
f'(x) = -(x - 2)*x*e^(-x)
f''(x) = (x^2 - 4*x + 2)*e^(-x)
[x == -sqrt(2) + 2, x == sqrt(2) + 2]
#44번 f(x) = x / (pow(x,2)-x+1) df(x) = diff(f(x)) #함수 미분하기 print(solve(df(x)==0,x)) #f'(x)가 0인 경우 구하기 print("f(x)의 최댓값은 f(1) = %s, 최솟값은 f(-1) = %s이다."%(f(1), f(-1))) p1 = plot(f(x),-3,3) #함수 그리기 show(p1) 
       
[
x == -1,
x == 1
]
f(x)의 최댓값은  f(1) = 1, 최솟값은 f(-1) = -1/3이다.
[
x == -1,
x == 1
]
f(x)의 최댓값은  f(1) = 1, 최솟값은 f(-1) = -1/3이다.
# 45. f(x) = pow(e,x)+pow(e,-x) df(x) = diff(f(x)) print(solve(df(x)==0,x)[1]) #f'(x)가 0인 경우 구하기 print("곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한점에서 만나려면 k = %s이다."%f(0)) p1 = plot(f(x)) #함수 그리기 p2 = plot(f(0), color='red') show(p1+p2) 
       
x == 0
곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한점에서 만나려면 k = 2이다.
x == 0
곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한점에서 만나려면 k = 2이다.
#46. f(x) = pow(3*x+2,4) print(integral(f(x),x)) #함수 적분하기 p1 = plot(f(x),-10,10) #함수 그리기 p2 = plot(integral(f(x),x),-10,10, color='red') show(p1+p2) 
       
81/5*x^5 + 54*x^4 + 72*x^3 + 48*x^2 + 16*x
81/5*x^5 + 54*x^4 + 72*x^3 + 48*x^2 + 16*x
#47. f(x) = tan(x) print(integral(f(x),x)) #함수 적분하기 p1 = plot(f(x)) p2 = plot(integral(f(x),x),color='red') show(p1+p2) 
       
log(sec(x))
log(sec(x))
#48. var('C') f(x) = integral(pow(sin(x/2),2),x) cf(x) = f(x) + C #적분상수 추가하기 print(solve(cf(0)==pi, C)[0]) #C값 구하기 C = pi f(x) = f(x) + C #함수 재설정하기 print("f(pi) = %s" %(f(pi))) 
       
C == pi
f(pi) = 3/2*pi
C == pi
f(pi) = 3/2*pi
#49. f(x) = integral(pow(e,x+2), x) #함수 적분하기 print("답: %s + C" %(f(x))) 
       
답: e^(x + 2) + C
답: e^(x + 2) + C
#50. f(x) = integral(1/(x*(x+1)),x).simplify_full() #함수 적분하기 print("답: %s + C" %(f(x))) 
       
답: log(x/(x + 1)) + C
답: log(x/(x + 1)) + C
#51. f(x) = integral(x/(pow(x,2)+3),x) #함수 적분하기 print("답: %s + C" %(f(x))) 
       
답: 1/2*log(x^2 + 3) + C
답: 1/2*log(x^2 + 3) + C
#52. f(x) = integral(pow(e,x)/(pow(e,x)-1),x) #함수 적분하기 print("답: %s + C" %(f(x))) 
       
답: log(e^x - 1) + C
답: log(e^x - 1) + C
#53. f(x) = integral(ln(x),x) #함수 적분하기 print("답: %s + C" %(f(x))) 
       
답: x*log(x) - x + C
답: x*log(x) - x + C
#54. f(x) = integral(x*pow(e,x),x) #함수 적분하기 print("답: %s + C" %(f(x))) 
       
답: (x - 1)*e^x + C
답: (x - 1)*e^x + C
#55. f(x) = integral(pow(x,2),0,2) #함수 적분하기 print("답: %s" %(f(x))) 
       
답: 8/3
답: 8/3
#56. f(x) = integral(1/(1+x),0,1) #함수 적분하기 print("답: %s" %(f(x))) 
       
답: log(2)
답: log(2)
#57. f(x) = integral(pow(x,2)+sin(2*x),-1,1) #함수 적분하기 print("답: %s" %(f(x))) 
       
답: 2/3
답: 2/3
#58. f(x) = integral(1/pow(x,2),1,2) #함수 적분하기 print("답: %s" %(f(x))) 
       
답: 1/2
답: 1/2
#60. f(x) = integral(pow(e,x)+pow(e,-x),-2,2) #함수 적분하기 print("답: %s" %(f(x))) 
       
답: 2*(e^4 - 1)*e^(-2)
답: 2*(e^4 - 1)*e^(-2)
#61. var('t') f(x) = sin(x)*cos(pow(x,2)) f(x) = integral(f(x),0,pi) #cos(x)=t로 놓아 풀이 전개 f(x) = integral(1-pow(t,2),t,0,1) #함수 적분하기 print("답: %s" %(f(x))) 
       
답: 2/3
답: 2/3
#62. sf(x) = sin(x) cf(x) = cos(x) f(x) = integral(cf(x)-sf(x),x,0,pi/4) #함수 적분하기 print("넓이는 %s이다." %(f(x))) p1 = plot(sf(x), -1, 2) #sin(x) 그리기 p2 = plot(cf(x), -1, 2, color='red') #cos(x) 그리기 show(p1+p2) 
       
넓이는 sqrt(2) - 1이다.
넓이는 sqrt(2) - 1이다.
#63. f(x) = pow(x,1/3) f(x) = integral(f(x),0,1) #함수 적분하기 print("넓이는 %s이다." %(f(x))) 
       
넓이는 3/4이다.
넓이는 3/4이다.
#64. S(x) = pow(sqrt(4*x-pow(x,2)),2) #식 세우기 S(x) = integral(S(x),0,3) #함수 적분하기 print("부피는 %s이다." %(S(x))) 
       
부피는 9이다.
부피는 9이다.
#65. var('t, s') v(t) = t/(pow(t,2)+1) #식 세우기 s = integral(v(t),0,1) #움직인 거리 구하기 위해 적분하기 print("움직인 거리는 %s이다." %s) 
       
움직인 거리는 1/2*log(2)이다.
움직인 거리는 1/2*log(2)이다.