#1번
f(n)=(n+1)/(n^2+n)
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("극한값은 %d이다"%(ans))
극한값은 0이다 극한값은 0이다 |
#2번
f(n)=(3*n+4)/(1-n)
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans))
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 -3이다 수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 -3이다 |
#3번
f(n)=(-1^n)/(2^n)
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %d이다"%(ans))
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다 수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다 |
#4번
f(n)=(7^(n+1)-3)/(7^n+3^n)
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("분자, 분모를 7^n으로 나누면 극한값은 %d이다"%(ans))
분자, 분모를 7^n으로 나누면 극한값은 7이다 분자, 분모를 7^n으로 나누면 극한값은 7이다 |
#5번
f(n)=n*(sqrt(n+3)-sqrt(n))^2
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 %f이다"%(ans))
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 2.250000이다 수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 2.250000이다 |
#6번
f(x)=x-1
ans=solve([-1<f(x),f(x)<=1],x)[:]
print("x 범위 {} 에 해당하는 정수 x : 1, 2 ".format(ans))
x 범위 [[0 < x, x < 2], [x == 2]] 에 해당하는 정수 x : 1, 2 x 범위 [[0 < x, x < 2], [x == 2]] 에 해당하는 정수 x : 1, 2 |
#7번
integer_list=[1..100]
f(n)=(n-1)/n
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 {}에 가까워진다".format(ans))
point([[x,f(x)] for x in integer_list],color='red')
n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 1에 가까워진다 n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 1에 가까워진다 |
#8번
var('r')
assume(r!=-1)
a(n)=(r^(n+1))/(2*r^2+2)
integer_list=[1..30]
print('(1) r=1')
f1(n)=a(n).subs(r=1)
ans=limit(f1(n), n=infinity)
print("\t수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 {}이다".format(ans))
p0=point([[n,f1(n)] for n in integer_list],color='red')
p0.show()
print('(2) |r|<1')
f2(n)=a(n).subs(r=1/2)
ans=limit(f2(n), n=infinity)
print("\t수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 {}이다".format(ans))
p1=point([[n,f2(n)] for n in integer_list],color='blue')
p1.show()
print('(3) |r|>1')
f3(n)=a(n).subs(r=2)
ans=limit(f3(n), n=infinity)
print("\t수열 a_n은 {}로 발산한다".format(ans))
point([[n,f3(n)] for n in integer_list],color='black')
(1) r=1 수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 1/4이다 (1) r=1 수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 1/4이다 |
(2) |r|<1
수열 a_n은 수렴하고, 극한값은 0이다
(3) |r|>1
수열 a_n은 +Infinity로 발산한다
#9번
integer_list=[1..100]
f(n)=n
ans=limit(f(n), n=infinity)
print("n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 {}로 발산한다".format(ans))
point([[x,f(x)] for x in integer_list],color='red')
n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 +Infinity로 발산한다 n의 값이 한없이 커질 때, a_n의 값은 +Infinity로 발산한다 |
#10번 >> 답 수정 1 -> 2/3
r=1/3
a(n)=r^(n-1)
result=limit(a(n), n=infinity)
if result==0:
is_convergence="수렴"
else:
is_convergence="발산"
print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence))
s(n)=a(1)*(1-r^n)/(1-r)
ans=limit(s(n), n=infinity)
if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans))
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다 급수 S_n의 수렴 값은 3/2이다 급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다 급수 S_n의 수렴 값은 3/2이다 |
#11번
A=n+1
B=n
a(n)=1/(A-B)*(1/B-1/A)
result=limit(a(n), n=infinity)
if result==0:
is_convergence="수렴"
else:
is_convergence="발산"
print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence))
s(n)=1-1/(n+1)
ans=limit(s(n), n=infinity)
if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans))
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다 급수 S_n의 수렴 값은 1이다 급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다 급수 S_n의 수렴 값은 1이다 |
#12번
a(n)=(n+2)/(n+1)-(n+3)/(n+2)
result=limit(a(n), n=infinity)
if result==0:
is_convergence="수렴"
else:
is_convergence="발산"
print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence))
s(n)=3/2-(n+3)/(n+2)
ans=limit(s(n), n=infinity)
if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans))
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다 급수 S_n의 수렴 값은 1/2이다 급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 0이므로 급수 S_n은 수렴한다 급수 S_n의 수렴 값은 1/2이다 |
#13번
a(n)=(2*n-1)/(3*n-2)
result=limit(a(n), n=infinity)
if result==0:
is_convergence="수렴"
else:
is_convergence="발산"
print("급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 {}이므로 급수 S_n은 {}한다".format(result, is_convergence))
s(n)=3/2-(n+3)/(n+2)
ans=limit(s(n), n=infinity)
if is_convergence=="수렴": print("급수 S_n의 수렴 값은 {}이다".format(ans))
급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 2/3이므로 급수 S_n은 발산한다 급수 S_n의 일반항 a_n의 극한값이 2/3이므로 급수 S_n은 발산한다 |
#14번
print("급수가 수렴하면, 일반항 a_n의 극한값은 0이다.")
var('a_n')
solve(a_n-2==0,a_n)
급수가 수렴하면, 일반항 a_n의 극한값은 0이다. [a_n == 2] 급수가 수렴하면, 일반항 a_n의 극한값은 0이다. [a_n == 2] |
#15번
r1, r2 = 1/2, 3/4
a(n)=r1^(n-1)
s1(n)=a(1)*(1-r1^n)/(1-r1)
b(n)=r2^(n-1)
s2(n)=b(1)*(1-r2^n)/(1-r2)
ans=limit(s1(n), n=infinity)
ans2=limit(s2(n), n=infinity)
print("급수의 수렴값은 {} + {} = {}이다".format(ans,ans2,ans+ans2))
급수의 수렴값은 2 + 4 = 6이다 급수의 수렴값은 2 + 4 = 6이다 |
#16번
f(x)=(3*x-1)/6
print(solve([-1<f(x),f(x)<1],x)[:])
x_list=[-1,0,1,2]
print("등비급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 개수는 {}의 {}개이다.".format(x_list,len(x_list)))
[[(-5/3) < x, x < (7/3)]] 등비급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 개수는 [-1, 0, 1, 2]의 4개이다. [[(-5/3) < x, x < (7/3)]] 등비급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 개수는 [-1, 0, 1, 2]의 4개이다. |
#17번
f(x)=log((9*x+1)/x,3)
ans=limit(f(x),x=infinity).simplify_full()
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans))
함수의 수렴값은 2이다. 함수의 수렴값은 2이다. |
#18번
from sympy import Limit, S
f(x)=3^x/(2+3^(x+1))
ans=limit(f(x),x=infinity).simplify_full()
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans))
함수의 수렴값은 1/3이다. 함수의 수렴값은 1/3이다. |
#19번
from sympy import Limit, S
var('a')
assume(a>0)
f(x)=(a^x-2^x)/x
limit_f(x)=limit(f(x),x=0).simplify_full()
solve(limit_f(x)==ln(3),a)
[a == 6] [a == 6] |
#20번
f(x)=(5^x-2^(-x))/(5^x+2^(-x))
ans=limit(f(x),x=infinity).simplify_full()
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans))
함수의 수렴값은 1이다. 함수의 수렴값은 1이다. |
#21번
f(x)=log(3+x)
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(1/2*diff(f(x),x).subs(x=0)))
함수의 수렴값은 1/6이다. 함수의 수렴값은 1/6이다. |
#22번
f(x)=(1+1/(2*x))^(-4*x)
ans=limit(f(x), x=infinity)
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans))
함수의 수렴값은 e^(-2)이다. 함수의 수렴값은 e^(-2)이다. |
#23번
var('a,b')
f(x)=log(x-a)/(x-2)
solve(limit(log(x-a),x=2)==0,a) #a값 구하기
a = 2-1
f(x)=log(x-a)/(x-2) #함수 재설정(a값 포함)
b = limit(f(x), x=2) #b값 구하기
print("a = %d, b = %d이다."%(a,b))
a = 1, b = 1이다. a = 1, b = 1이다. |
#24번
n_to_rad(x)=pi*x/180
sin(n_to_rad(60))*cos(n_to_rad(45))-cos(n_to_rad(60))*sin(n_to_rad(60))
1/4*sqrt(2)*sqrt(3) - 1/4*sqrt(3) 1/4*sqrt(2)*sqrt(3) - 1/4*sqrt(3) |
#25번
n_to_rad(x)=pi*x/180
sin(n_to_rad(45))
1/2*sqrt(2) 1/2*sqrt(2) |
#26번
sin_a=3/5
sin_b=2/5
cos_a=-sqrt(1-sin_a^2)
cos_b=sqrt(1-sin_b^2)
print("cos(a) = {}, cos(b) = {}".format(cos_a,cos_b))
ans=(cos_a*cos_b+sin_a*sin_b)
print("\ncos(a-b) \n= cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) \n= {}".format(ans))
cos(a) = -4/5, cos(b) = 1/5*sqrt(21) cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) = -4/25*sqrt(21) + 6/25 cos(a) = -4/5, cos(b) = 1/5*sqrt(21) cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) = -4/25*sqrt(21) + 6/25 |
#27번
n_to_rad(x)=pi*x/180
tan(n_to_rad(110-80))
1/3*sqrt(3) 1/3*sqrt(3) |
#28번
f(x)=x^2*sin(1/x)
ans=limit(f(x), x=0)
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans))
함수의 수렴값은 0이다. 함수의 수렴값은 0이다. |
#29번
f(x)=cos(x)/x^2
ans=limit(f(x), x=infinity)
print("함수의 수렴값은 {}이다.".format(ans))
함수의 수렴값은 0이다. 함수의 수렴값은 0이다. |
#30번
print(diff(sin(x)-cos(x))) #함수 미분하기
sin(x) + cos(x) sin(x) + cos(x) |
#31번
f(x)=20*x^2*log(x)
df(x)=diff(f(x),x)
df(1)
20 20 |
#32번
f(x)=(x+1)^3+log(x)
df(x)=diff(f(x),x)
df(1)
13 13 |
#33번
f(x)=tan(x)*sec(x)
factor(diff(f(x),x))
(2*tan(x)^2 + 1)*sec(x) (2*tan(x)^2 + 1)*sec(x) |
#34번
f(x)=sqrt(1-2*sin(x))
diff(f(x))
-cos(x)/sqrt(-2*sin(x) + 1) -cos(x)/sqrt(-2*sin(x) + 1) |
#35번
f(x)=(1+sin(x))/cos(x)
diff(f(x))
(sin(x) + 1)*sin(x)/cos(x)^2 + 1 (sin(x) + 1)*sin(x)/cos(x)^2 + 1 |
#36번
f(x)=cos(2*x)+cos(x)
df(x)=diff(f(x))
df(pi/3)
-3/2*sqrt(3) -3/2*sqrt(3) |
#37번
f(x)=cos(sin(x))
diff(f(x))
-sin(sin(x))*cos(x) -sin(sin(x))*cos(x) |
#38번
f(x)=x*e^(x)-1
df(x)=diff(f(x))
x,y=0,-1
print("y={}x+{}".format(df(x),y))
y=1x+-1 y=1x+-1 |
#39번
f(x)=sqrt(3)*sin(x)+3*cos(x)
df(x)=diff(f(x))
x,y=pi/3,3
print("y={}(x-{})+{}".format(df(x),x,y))
y=-sqrt(3)(x-1/3*pi)+3 y=-sqrt(3)(x-1/3*pi)+3 |
#40번
f(x)=x^2*e^(3*x)
df(x)=diff(f(x))
x,y=-1,1/e^3
print("y={}(x-({}))+{}".format(-1/df(x),x,y))
y=-e^3(x-(-1))+e^(-3) y=-e^3(x-(-1))+e^(-3) |
#41.
f(x) = pow(x,2)-ln(pow(x,2))
df(x) = diff(f(x))
print(solve(df(x)==0,x)[0])
p1 = plot(f(x),-2, 0)
p2 = plot(f(-1),-2,0,color='red')
show(p1+p2)
x == -1 x == -1 |
#42번
f(x)=x/(2*log(x))
df(x)=diff(f(x))
solve(df(x)==0,x)
f(e)
|
|
#43번
f(x)=x^2/e^x
print("f'(x) = {}".format(factor(diff(f(x)))))
ddf(x)=factor(diff(f(x),x,2))
print("f''(x) = {}".format(ddf(x)))
solve(ddf(x)==0,x)
f'(x) = -(x - 2)*x*e^(-x) f''(x) = (x^2 - 4*x + 2)*e^(-x) [x == -sqrt(2) + 2, x == sqrt(2) + 2] f'(x) = -(x - 2)*x*e^(-x) f''(x) = (x^2 - 4*x + 2)*e^(-x) [x == -sqrt(2) + 2, x == sqrt(2) + 2] |
#44번
f(x) = x / (pow(x,2)-x+1)
df(x) = diff(f(x)) #함수 미분하기
print(solve(df(x)==0,x)) #f'(x)가 0인 경우 구하기
print("f(x)의 최댓값은 f(1) = %s, 최솟값은 f(-1) = %s이다."%(f(1), f(-1)))
p1 = plot(f(x),-3,3) #함수 그리기
show(p1)
[ x == -1, x == 1 ] f(x)의 최댓값은 f(1) = 1, 최솟값은 f(-1) = -1/3이다. [ x == -1, x == 1 ] f(x)의 최댓값은 f(1) = 1, 최솟값은 f(-1) = -1/3이다. |
# 45.
f(x) = pow(e,x)+pow(e,-x)
df(x) = diff(f(x))
print(solve(df(x)==0,x)[1]) #f'(x)가 0인 경우 구하기
print("곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한점에서 만나려면 k = %s이다."%f(0))
p1 = plot(f(x)) #함수 그리기
p2 = plot(f(0), color='red')
show(p1+p2)
x == 0 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한점에서 만나려면 k = 2이다. x == 0 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 한점에서 만나려면 k = 2이다. |
#46.
f(x) = pow(3*x+2,4)
print(integral(f(x),x)) #함수 적분하기
p1 = plot(f(x),-10,10) #함수 그리기
p2 = plot(integral(f(x),x),-10,10, color='red')
show(p1+p2)
81/5*x^5 + 54*x^4 + 72*x^3 + 48*x^2 + 16*x 81/5*x^5 + 54*x^4 + 72*x^3 + 48*x^2 + 16*x |
#47.
f(x) = tan(x)
print(integral(f(x),x)) #함수 적분하기
p1 = plot(f(x))
p2 = plot(integral(f(x),x),color='red')
show(p1+p2)
log(sec(x)) log(sec(x)) |
#48.
var('C')
f(x) = integral(pow(sin(x/2),2),x)
cf(x) = f(x) + C #적분상수 추가하기
print(solve(cf(0)==pi, C)[0]) #C값 구하기
C = pi
f(x) = f(x) + C #함수 재설정하기
print("f(pi) = %s" %(f(pi)))
C == pi f(pi) = 3/2*pi C == pi f(pi) = 3/2*pi |
#49.
f(x) = integral(pow(e,x+2), x) #함수 적분하기
print("답: %s + C" %(f(x)))
답: e^(x + 2) + C 답: e^(x + 2) + C |
#50.
f(x) = integral(1/(x*(x+1)),x).simplify_full() #함수 적분하기
print("답: %s + C" %(f(x)))
답: log(x/(x + 1)) + C 답: log(x/(x + 1)) + C |
#51.
f(x) = integral(x/(pow(x,2)+3),x) #함수 적분하기
print("답: %s + C" %(f(x)))
답: 1/2*log(x^2 + 3) + C 답: 1/2*log(x^2 + 3) + C |
#52.
f(x) = integral(pow(e,x)/(pow(e,x)-1),x) #함수 적분하기
print("답: %s + C" %(f(x)))
답: log(e^x - 1) + C 답: log(e^x - 1) + C |
#53.
f(x) = integral(ln(x),x) #함수 적분하기
print("답: %s + C" %(f(x)))
답: x*log(x) - x + C 답: x*log(x) - x + C |
#54.
f(x) = integral(x*pow(e,x),x) #함수 적분하기
print("답: %s + C" %(f(x)))
답: (x - 1)*e^x + C 답: (x - 1)*e^x + C |
#55.
f(x) = integral(pow(x,2),0,2) #함수 적분하기
print("답: %s" %(f(x)))
답: 8/3 답: 8/3 |
#56.
f(x) = integral(1/(1+x),0,1) #함수 적분하기
print("답: %s" %(f(x)))
답: log(2) 답: log(2) |
#57.
f(x) = integral(pow(x,2)+sin(2*x),-1,1) #함수 적분하기
print("답: %s" %(f(x)))
답: 2/3 답: 2/3 |
#58.
f(x) = integral(1/pow(x,2),1,2) #함수 적분하기
print("답: %s" %(f(x)))
답: 1/2 답: 1/2 |
#60.
f(x) = integral(pow(e,x)+pow(e,-x),-2,2) #함수 적분하기
print("답: %s" %(f(x)))
답: 2*(e^4 - 1)*e^(-2) 답: 2*(e^4 - 1)*e^(-2) |
#61.
var('t')
f(x) = sin(x)*cos(pow(x,2))
f(x) = integral(f(x),0,pi) #cos(x)=t로 놓아 풀이 전개
f(x) = integral(1-pow(t,2),t,0,1) #함수 적분하기
print("답: %s" %(f(x)))
답: 2/3 답: 2/3 |
#62.
sf(x) = sin(x)
cf(x) = cos(x)
f(x) = integral(cf(x)-sf(x),x,0,pi/4) #함수 적분하기
print("넓이는 %s이다." %(f(x)))
p1 = plot(sf(x), -1, 2) #sin(x) 그리기
p2 = plot(cf(x), -1, 2, color='red') #cos(x) 그리기
show(p1+p2)
넓이는 sqrt(2) - 1이다. 넓이는 sqrt(2) - 1이다. |
#63.
f(x) = pow(x,1/3)
f(x) = integral(f(x),0,1) #함수 적분하기
print("넓이는 %s이다." %(f(x)))
넓이는 3/4이다. 넓이는 3/4이다. |
#64.
S(x) = pow(sqrt(4*x-pow(x,2)),2) #식 세우기
S(x) = integral(S(x),0,3) #함수 적분하기
print("부피는 %s이다." %(S(x)))
부피는 9이다. 부피는 9이다. |
#65.
var('t, s')
v(t) = t/(pow(t,2)+1) #식 세우기
s = integral(v(t),0,1) #움직인 거리 구하기 위해 적분하기
print("움직인 거리는 %s이다." %s)
움직인 거리는 1/2*log(2)이다. 움직인 거리는 1/2*log(2)이다. |
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