최댓값과 최솟값

421 days ago by namy0727

3.1 최댓값과 최솟값

 

예제 

다음 함수의 최댓값과 최솟값을 찾아라. $$f (x) = x^{3} - 3 x ^{2} +1 \quad \frac{1}{2} \leq x \leq 4$$

 

풀이) 함수 $f$ 는 구간 $\left[\frac{1}{2}, 4 \right]$ 에서 연속이다. 따라서 '닫힌 구간 방법'을 이용해서 최댓값과 최솟값을 찾는다.

(1) 구간 $\left(\frac{1}{2}, 4 \right)$에서 의 임계점 찾기.

x = var('x') f = x^3 - 3*x^2 + 1 df = diff(f,x) df 
       
3*x^2 - 6*x
3*x^2 - 6*x

위의 식을 $0$으로 만드는 값은 쉽게 $0$과 $2$임을 알 수 있으나 이를 다시 SAGE로 계산하면 다음과 같다.

solve(df==0,x) 
       
[x == 0, x == 2]
[x == 0, x == 2]

(2) 주어진 구간 양 끝점에서 $f$의 값들을 확인한다. 임계점인 $x=0$과 $x=2$에서도 함수 값을 확인한다.

x = var('x') f = x^3 - 3*x^2 + 1 print "f(-1/2) =", f(x=-1/2) print "f(0) =", f(x=0) print "f(2) =", f(x=2) print "f(4) =", f(x=4) 
       
f(-1/2) = 1/8
f(0) = 1
f(2) = -3
f(4) = 17
f(-1/2) = 1/8
f(0) = 1
f(2) = -3
f(4) = 17

(3) 그래프를 그려서 최댓값과 최솟값을 확인한다.

x = var('x') f = x^3 - 3*x^2 + 1 plot(f,-1/2,4)